Qué es la «sucesión de números de Catalan», el método para resolver un enigma clásico del álgebra

Un nuevo método para resolver uno de los problemas más antiguos del álgebra. Normal Wildberger, matemático y profesor honorario de la Universidad de Nueva Gales del Sur en Sydney, Australia halló la solución para las ecuaciones polinómicas de grado superior. El método fue publicado en la revista The American Mathematical Monthly por Wildberger y el experto en informática Dean Rubine. Veamos en qué consiste y qué aplicaciones podría tener este descubrimiento.

¿Qué son las ecuaciones polinómicas de grado superior?

En una ecuación polinómica de segundo grado, la variable representada normalmente por ‘x’, aparece elevada al cuadrado. Se le denomina «de segundo grado» porque el mayor exponente de ‘x’ es 2:

1 + 4x – ^3×2 = 0

Aquí, la variable ‘x’ se eleva a la segunda potencia. Si aparece más de una variable, o si la misma variable aparece más de una vez, se considera la potencia más alta para determinar el grado. Por otro lado, las ecuaciones polinómicas de grado superior son aquellas que incluyen variables elevadas a potencias iguales o mayores que cinco. Por ejemplo:

1 + 4x ² – 3x ⁵ = 0.

Se sabe que las ecuaciones polinómicas de segundo grado pueden resolverse desde hace siglos, gracias a un método desarrollado por los babilonios hacia el año 1800 a.C. Mucho más tarde, en el siglo XVI, el mismo método se extendió para resolver también ecuaciones de tercer y cuarto grado. Sin embargo, en 1832, el matemático francés Évariste Galois demostró que este método no podía aplicarse para resolver ecuaciones de grado superior a cuatro. Hasta la fecha, solo había sido posible obtener soluciones aproximadas para este tipo de ecuaciones.

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¿Cómo se resolvió?

En su estudio, Wildberger y Rubine desarrollaron una aproximación completamente diferente, basada en una secuencia de números naturales conocida como ‘Catalan sequence‘ (sucesión de Catalan o sucesión de números de Catalan). Esta se utiliza en diversas aplicaciones matemáticas, como el cálculo del número de formas en que un polígono puede dividirse en triángulos.

«Se cree que los números de Catalan están íntimamente relacionados con la ecuación cuadrática. Nuestra innovación radica en la idea de que, si queremos resolver ecuaciones de mayor grado, tenemos que buscar análogos superiores», explica Wildberger. Su trabajo amplía estos números de una matriz unidimensional a otra multidimensional, basada en el número de formas en que se puede dividir un polígono utilizando no solo triángulos, sino también cuadrados, pentágonos, etc.

«Hemos encontrado estas extensiones y demostrado cómo, lógicamente, conducen a una solución general de ecuaciones polinómicas. Se trata de una revisión espectacular de un capítulo fundamental del álgebra», refieren los teóricos.

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Posibles aplicaciones

Para probar el nuevo método, los autores intentaron utilizarlo para resolver algunas ecuaciones conocidas. «Probamos una famosa ecuación cúbica utilizada por el matemático John Wallis en el siglo XVII para demostrar el método de Newton. Nuestra solución funcionó a las mil maravillas», subraya Wildberger.

Más allá del aspecto puramente teórico, este nuevo enfoque podría tener aplicaciones en el ámbito computacional, por ejemplo, en la creación de software que lo utilice en lugar de los métodos clásicos para resolver ecuaciones polinómicas. «Es un cálculo fundamental para gran parte de la matemática aplicada, por lo que es una oportunidad para mejorar algoritmos en un amplio abanico de campos», concluye Wildberger.

Artículo originalmente publicado en WIRED Italia. Adaptado por Alondra Flores.